综观数学史上所有人物著作论述的出版量而言，欧拉多产的程度可说是仅次于匈牙利数学家艾狄胥。但他是科学史上最多产的一位杰出的数学家，虽然欧拉是在失明状态下度过晚年生涯这一点让人感到相当遗憾，但是，英国科学作家达林却认为：“欧拉产出的数量似乎跟他的视力成反比发展，因为随着他在1766年近乎全盲以后，他发表作品的速度反而更快了。”下面就介绍欧拉的两条数学公式。

欧拉多面体公式——最漂亮、最简洁公式之一

欧拉多面体公式被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一同时也是拓扑学研究形状及其相互关系的一门学问一最著名的公式之一。根据一份针对《数学通报》读者做的调查发现，他们把这条公式排名成数学史上第二漂亮的公式，仅次于另一条欧拉所提出的公式：e（iπ上标）+1=0,这个式子一口气囊括数学领域最重要五个符号，欧拉数e也在其中。

瑞士数学家暨物理学家欧拉在1751年发现任一凸多面体(一种以平面及直线为边的立体）的顶点数V、边数E及面数F三个数值可以满足方程式V-E+F=2的等式。所谓凸多面体，指的是没有凹陷或孔洞的多面体；如果要用更正式的定义加以描述，那就是在这个多面体内任选两点所画出的连接线，都一定会被完全包含在多面体当中。

【资料图】

以一个立方体的表面为例，它包含了六个面、十二条边、八个顶点，将这三个数值带入欧拉的多面体公式可得6-12+8=2的结果；以十二面体为例的话，该公式可以写成20-30+12=2附带一提，笛卡儿差不多在1639年的时候，就已经约略知道多面体公式里的各项元素具有一定关系，与现在我们所知道的欧拉多面体公式，只差几个数学步骤加以证明而已。

之后更一般化的欧拉多面体公式被运用在网络与图形的研究领域，让数学家们得以一窥将之套用在有孔洞的立体或更高维度的物体会有什么样的结果。这条公式也被运用在实务领域，像是协助计算机专家安排电路板上的线路规划或是让宇宙论者深入思考我们所处宇宙的可能形状。

欧拉多边形分割问题

1751年，当时瑞士数学家欧拉向普鲁士数学家哥德巴赫提出了一个问题：一个平面凸n边形透过对角线，可以有几种不同分割成三角形的方法En?用更生活化的说法来讲，假设你手上有一块多边形的派饼要分割成三角形的形状，从派饼的某个端点用刀子直线划到其他端点，而且刀子划过的轨迹不能相交，在这些条件限制下，你可以有几种分割的方式？欧拉找出的公式如下：

En=2·6·10……（4n-10)/(n-1)!

一个凸多边形必须符合以下条件：在多边形内任意选取两点，则连接这两点的直线必须完全被包含在多边形之内。许多书籍的作者暨数学家狄利(Heinrich Dorrie)表示：“这可以说是

最有趣的一个数学问题，因为表面上看起来似乎相当平淡无奇的这个问题，其实是非常难以证明，就连欧拉自己也说：“当我自己使用归纳法处理这个问题时，我才知道这是一个多么费力的工作。”

​以一个矩形为例，它的两条对角线可以划出E₄=2的结；以一个五边形为例，我们可以得到E₅=5的结果。事实上，早期的研究人员真的倾向使用图形表示方法获致证明此一方程式的灵感。但是，只要随着多边形的边数一多，这种直接目测的做法就会变得一点也不可行；以九边形为例的话，我们总共可以得出429种通过对角线分割成三角形的做法。多边形分割问题吸引很多人的注意，斯洛伐克日耳曼数学家塞格纳(Johann Andreas Segner)发明一种递归公式计算En值：En=E₂En-₁+E₃En-₂+……+En-₁E₂；递归公式指的是让数列中的每一项都定义为前一项的函数。

值得注意的是，En值似乎跟另外一组被称作“卡塔兰数”(Catalan numbers,En=Cn-₁)的数字集合有着隐秘的连接。卡塔兰数是组合数学的课题，组合数学则是一门在离散体系内探讨有限数学运算诸如研究排列组合问题的学问。